סינוס של זווית כפולהחקירת פונקציות טריגונומטריות 571 · שיעור 4
חקירת פונקציות טריגונומטריות · שאלון 571
שיעור 4 – סינוס של זווית כפולה
פרק 1 – זהויות טריגונומטריות
1נוסח השאלה
2הסבר – הנוסחה sin(2x)
3סעיף א – סוגרים לסינוס אחד
4סעיף ב – מציאת sin(2x)
5סעיף ג – משוואה
6סעיף ד – בגרות 482: הוכחה
📄 נוסח השאלה
א. כתבו כל ביטוי כביטוי עם סינוס אחד:
(1) 2sin(3x) · cos(3x)
(2) sin x · cos x
(3) 6sin x · cos x
ב. נתון: sin x = 45 , והזווית x ברביע 1. מצאו את sin(2x) .
📄 נוסח השאלה · המשך
ג. פתרו את המשוואה sin(2x) = sin x בתחום 0 ≤ x ≤ 2π .
ד. (מתוך בגרות 482, קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 3) נתונה הפונקציה f(x) = sin(2x) + 12 , המוגדרת בתחום −π2 ≤ x ≤ π2 . נתונה גם הפונקציה g(x) = −4sin x · cos x − 1 , המוגדרת באותו תחום. הוכיחו כי g(x) = −2f(x) לכל x בתחום.
הסבר – הנוסחה sin(2x)
הנוסחה של סינוס של זווית כפולה:
לכל זווית x :
📐 סינוס של זווית כפולה
מאיפה היא באה? מהנוסחה של סינוס של סכום זוויות, כששתי הזוויות שוות: 2x = x + x .
בדיקה עם x = π6 . באגף שמאל:
sin(2 · π6) = sin π3 = √32
באגף ימין מציבים sin π6 = 12 ו־cos π6 = √32 :
📐 סינוס של זווית כפולה
sin(2x) = 2 sin x · cos x
הסבר – הנוסחה sin(2x) · המשך
באגף ימין מציבים sin π6 = 12 ו־cos π6 = √32 :
2 · 12 · √32 = √32 ✓
טעות נפוצה: sin(2x) לא שווה 2sin x . למשל ב־x = π2 : sin π = 0 , אבל 2sin π2 = 2 .
שני כיוונים: משתמשים בנוסחה כדי לפתוח sin(2x) למכפלה (כשרוצים גורם משותף עם sin x או cos x ), או כדי לסגור מכפלה 2sin x · cos x לסינוס אחד. הנוסחה עובדת לכל זווית – גם sin(6x) = 2sin(3x) · cos(3x) .
✅ פתרון סופי: sin(2x) = 2sin x · cos x
סעיף א – סוגרים לסינוס אחד
(1) זה בדיוק אגף ימין של הנוסחה, עם הזווית 3x במקום x . הזווית הכפולה היא 2 · 3x = 6x :
2sin(3x) · cos(3x) = sin(6x)
📐 סינוס של זווית כפולה
(2) חסר המספר 2. כופלים ומחלקים ב־2 (כדי לקבל את צורת הנוסחה):
sin x · cos x = 12 · 2sin x · cos x
sin x · cos x = 12sin(2x)
📐 סינוס של זווית כפולה
(3) מפרקים 6 = 3 · 2 :
📐 סינוס של זווית כפולה
sin(2x) = 2 sin x · cos x
📐 סינוס של זווית כפולה
sin(2x) = 2 sin x · cos x
סעיף א – סוגרים לסינוס אחד · המשך
(3) מפרקים 6 = 3 · 2 :
6sin x · cos x = 3 · 2sin x · cos x
6sin x · cos x = 3sin(2x)
📐 סינוס של זווית כפולה
✅ פתרון סופי: ביטוי 1 הוא sin(6x) , ביטוי 2 הוא 12sin(2x) , וביטוי 3 הוא 3sin(2x)
📐 סינוס של זווית כפולה
sin(2x) = 2 sin x · cos x
סעיף ב – מציאת sin(2x)
בנוסחה צריך גם את cos x . מוצאים אותו מהזהות היסודית, ומסמנים את sin x :
(sin x)2 + cos2x = 1
📐 זהות יסודית
נציב sin x = 45 :
(45)2 + cos2x = 1
cos2x = 1 − 1625 = 925
ברביע 1 הקוסינוס חיובי:
📐 זהות יסודית
sin2x + cos2x = 1
סעיף ב – מציאת sin(2x) · המשך
ברביע 1 הקוסינוס חיובי:
cos x = 35
עכשיו הנוסחה, ומסמנים את מה שנחליף:
sin(2x) = 2 · sin x · cos x
📐 סינוס של זווית כפולה
נציב sin x = 45 ו־cos x = 35 :
sin(2x) = 2 · 45 · 35 = 2425
📐 סינוס של זווית כפולה
sin(2x) = 2 sin x · cos x
סעיף ב – מציאת sin(2x) · המשך
sin(2x) = 2 · 45 · 35 = 2425
✅ פתרון סופי: sin(2x) = 2425
סעיף ג – משוואה
באגף שמאל זווית כפולה ובאגף ימין זווית רגילה. פותחים את sin(2x) כדי שבשני האגפים תהיה הזווית x :
2sin x · cos x = sin x
📐 סינוס של זווית כפולה
לא מחלקים ב־sin x – הוא יכול להיות 0, ואז נאבד פתרונות. מעבירים הכל לאגף אחד ומוציאים גורם משותף:
2sin x · cos x − sin x = 0
sin x · (2cos x − 1) = 0
מכפלה שווה 0 – אחד הגורמים שווה 0:
📐 מכפלה שווה 0
📐 סינוס של זווית כפולה
sin(2x) = 2 sin x · cos x
📐 מכפלה שווה 0
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
סעיף ג – משוואה · המשך
מכפלה שווה 0 – אחד הגורמים שווה 0:
📐 מכפלה שווה 0
אפשרות 1: sin x = 0 . הזווית שהסינוס שלה 0 היא 0:
x = 0 + 2πk
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = π − 0 + 2πk = π + 2πk
נציב k = 0 : x = 0 , x = π . נציב k = 1 : x = 2π (וגם 3π – מחוץ לתחום).
אפשרות 2: 2cos x − 1 = 0 :
📐 מכפלה שווה 0
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
📐 פתרון המשוואה sin x = sin a
x = a + 2πk
x = π − a + 2πk
x = π − a + 2πk
סעיף ג – משוואה · המשך
אפשרות 2: 2cos x − 1 = 0 :
cos x = 12
cos π3 = 12
📐 ערך מיוחד
x = π3 + 2πk
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = −π3 + 2πk
נציב k = 0 : x = π3 (והפתרון −π3 מחוץ לתחום).
📐 ערך מיוחד
cos π3 = 12
📐 פתרון המשוואה cos x = cos a
x = a + 2πk
x = −a + 2πk
x = −a + 2πk
סעיף ג – משוואה · המשך
נציב k = 0 : x = π3 (והפתרון −π3 מחוץ לתחום).
נציב k = 1 במשפחה השנייה:
x = −π3 + 2π = 5π3
במשפחה הראשונה π3 + 2π כבר גדול מ־2π .
✅ פתרון סופי: x = 0 , π3 , π , 5π3 , 2π
סעיף ד – בגרות 482: הוכחה
מתחילים מאגף ימין. כותבים אותו ומסמנים את f(x) שנחליף:
−2f(x)
נציב f(x) = sin(2x) + 12 :
−2(sin(2x) + 12)
פותחים סוגריים:
−2sin(2x) − 1
סעיף ד – בגרות 482: הוכחה · המשך
−2sin(2x) − 1
ב־g(x) יש sin x · cos x , ולכן פותחים את sin(2x) :
−2 · 2sin x · cos x − 1
📐 סינוס של זווית כפולה
−4sin x · cos x − 1 = g(x)
קיבלנו בדיוק את g(x) , ולכן g(x) = −2f(x) לכל x ✓
✅ פתרון סופי: g(x) = −2f(x) ✓
📐 סינוס של זווית כפולה
sin(2x) = 2 sin x · cos x
📌 סיכום התשובות
סעיף א
sin(6x) ; 12sin(2x) ; 3sin(2x)
סעיף ב
2425
סעיף ג
x = 0 , π3 , π , 5π3 , 2π
סעיף ד
הוכחה
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא